设$X$和$Y$是有限集，并设$f:X\times Y\to\mathbb{R}$是函数.那么

$$\sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$$

证明：先搞清楚$\sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)$.$X$是基数为$n$的有限集,存在从$ \{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}$ 到$ X$的双射$g$.$f:X\to\mathbb{R}$ 是一个这样的函数 $f(x)=\sum_{y\in Y}f(x,y)$.所以$  \sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)=\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{i=1}^nf(g(i))$.弄清楚了这个之后，再来证题.

现在对$n$实行归纳.当$n=0$时，$ \sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)=0$.此时，$ \sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)=0$.所以当$n=0$时命题成立.设当$n=k(0\leq k)$时命题成立.则当$n=k+1$时，设$X=X'\bigcup\{x_0\}$.易得

\begin{align*}

\sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)&=\sum_{x\in X'}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)+\sum_{x\in\{x_0\}}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)\\

&=\sum_{(x,y)\in X'\times Y}f(x,y)+\sum_{(x,y)\in\{x_0\}\times Y}f(x,y)\\&=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)\end{align*}